まずはじめに、弊社の海外オフィスでは全く問題が起きていないということから、「日本だけで起こる特有の問題」と思い込み、書いてしまったことを訂正いたします。maz2000さま、ご指摘ありがとうございます。
MDSというものの存在と仕組みが、わかっていたのなら、もう少し早く自分でも解決できたのかもしれません。でもやはり一ユーザーが、「ブラウザが使えくなった」ということから、ここまでたどり着くのはなかなか難しいかなとも思いますが。
MDSとOffice365の関係で調べましたら、わかり易い記事を見つけることができました。
英語ですが、RIMはMDSをサポートしないので、BlackBerryとデータの両方を使えるプランにして、デフォルトブラウザやAPNの設定をしないといけませんねと書いてありました。検索でこれに最初にヒットしたかったです。
ZDNetより抜粋：2014/6/19現在
www.zdnet.com/blackberry-business-cloud-services-for-office-365-3040094370
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There are some issues with the new tools that change the way businesses work with devices. BlackBerry users who have used BES-specific data plans to handle all their connectivity will need to switch to mixed plans that include both BlackBerry and TCP/IP data. That's because the cloud-hosted BES service doesn't support RIM's MDS tunnel, requiring IP traffic to use the public internet. In most cases that means changing the default browser on a BlackBerry handset, and setting up the carrier APN for TCP/IP traffic. It's not a huge issue, but something that you need be aware of - particularly if it affects the budget for data plans.
さらに明確になりました。
ありがとうございました。